有两张完全重合的矩形纸片.将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF.连接BD.MF.并测得∠ADB=30°．(1)试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系.并说明理由,(2)将△BCD与△MEF剪去继续探究.将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1.AD1交FM于点K.设旋转角为β.当△AFK为等腰三角形时,①请直接写出旋转角β� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，并测得∠ADB=30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）将△BCD与△MEF剪去继续探究，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时；
①请直接写出旋转角β的度数；
②若测得AB=10cm，求出此时△AFK的面积．

分析（1）①由旋转的性质可以证明△BAD≌△MAF，由全等三角形的对应边相等可以推知线段BD与MF的数量关系BD=MF．②BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）由条件可知∠AFK=30°，当∠AFK为顶角时，可以求出∠KAF=75°，从而求出旋转角β的度数，当∠AFK为底角时，可以求出∠KAF=30°，从而求出旋转角β的度数

解答解：（1）BD=MF，且BD⊥MF．理由如下：
如图1，延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．
（2）①如图2，根据旋转的性质知，∠AFK=∠ADB=30°．
当AK=FK时，∠KAF=∠AFK=30°，
则∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
当AF=FK时，∠FAK=$\frac{180°-∠AFK}{2}$=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°．
综上所述，β=15°或β=60°时，△AKF为等腰三角形．
②如图3所示：过点K作KN⊥AF，垂足为N．

当FK=AF=10时，KN=$\frac{1}{2}FK=5$，
∴△AKF的面积=$\frac{1}{2}AF•KN$=$\frac{1}{2}×10×5$=25cm²．
当AK=KF时，由KA=KF，KN⊥AF得：NF=$\frac{1}{2}AF=5$．
∴KN=5×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
∴△AKF的面积=$\frac{1}{2}×AF•KN$=$\frac{1}{2}×10×\frac{5\sqrt{3}}{3}$=$\frac{25\sqrt{3}}{3}$cm²．
综上所述，△AKF的面积为25cm²或$\frac{25\sqrt{3}}{3}$cm²．

点评本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．

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