Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+h分别与x轴、y轴交于点A（1，0）和点B（0，-2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP．
（1）求点P的坐标及抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C₂，请你判断点P是否在抛物线C₂上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A（1，0）和点B（0，-2），得到OA=1，OB=2，过P作PM⊥x轴于M，推出△ABO≌△APM，于是得到AM=OB，PM=OA，求出P（3，-1），把A（1，0）和点B（0，-2）代入抛物线C₁：y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+h，解方程组即可得到结果；
（2）将抛物线C₁先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C₂，于是得到y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$+2）²+$\frac{9}{8}$+1，求出C₂的解析式，把点P的坐标代入即可得到结论．

解答 解：（1）∵A（1，0）和点B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，过P作PM⊥x轴于M，
由题意得：AB=AP，∠BAP=90°，
∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠PAM．
在△ABO于△APM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠AMP}\\{∠ABO=∠PAM}\\{AB=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△APM，
∴AM=OB，PM=OA，
∴P（3，-1），
∵A（1，0）和点B（0，-2）在抛物线C₁：y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+h上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a（1-\frac{5}{2}）^{2}+h}\\{-2=a（0-\frac{5}{2}）^{2}+h}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{h=\frac{9}{8}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式${C_{1：}}y=-\frac{1}{2}{（x-\frac{5}{2}）^2}+\frac{9}{8}$；

（2）∵将抛物线C₁先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C₂，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$+2）²+$\frac{9}{8}$+1，
∴抛物线C₂的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{8}$，
当x=3时，y=-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）+$\frac{17}{8}$=-1，
∴点P在抛物线C₂上．

点评 本题考查了二次函数的图象与图形变换，待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，是解题的关键．