【题目】已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC="3" ,tan∠BAC=,将∠ABC对折,使点C的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交AC于点O,以点O为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系
(1)求过A、B、O三点的抛物线解析式;
(2)若在线段AB上有一动点P,过P点作x轴的垂线,交抛物线于M,设PM的长度等于d,试探究d有无最大值,如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.
(3)若在抛物线上有一点E,在对称轴上有一点F,且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形,试求出点E的坐标.
【答案】(1)y=;(2)当t=时,d有最大值,最大值为2;(3)在抛物线上存在三个点:E1(,-),E2(,),E3(-,),使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形.
【解析】
(1)在Rt△ABC 中,根据∠BAC的正切函数可求得AC=4,再根据勾股定理求得AB,设OC=m,连接OH由对称性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,即得AH=AB-BH=2,OA=4-m.在Rt△AOH 中,根据勾股定理可求得m的值,即可得到点O、A、B的坐标,根据抛物线的对称性可设过A、B、O三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-),再把B点坐标代入即可求得结果;
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据待定系数法求得直线AB的解析式,设动点P(t,),则M(t,),先表示出d关于t的函数关系式,再根据二次函数的性质即可求得结果;
(3)设抛物线y=的顶点为D,先求得抛物线的对称轴,与抛物线的顶点坐标,根据抛物线的对称性,A、O两点关于对称轴对称.分AO为平行四边形的对角线时,AO为平行四边形的边时,根据平行四边形的性质求解即可.
(1)在Rt△ABC 中,
∵BC=3 ,tan∠BAC=,
∴AC=4.
∴AB=.
设OC=m,连接OH
由对称性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,
∴AH=AB-BH=2,OA=4-m.
∴在Rt△AOH 中, OH2+AH2=OA2,即m2+22=(4-m)2,得 m=.
∴OC=,OA=AC-OC=,
∴O(0,0) A(,0),B(-,3).
设过A、B、O三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-).
把x=,y=3代入解析式,得a=.
∴y=x(x-)=.
即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据题意得
,解之得,.
∴直线AB的解析式为y=.
设动点P(t,),则M(t,).
∴d=()—()=—=
∴当t=时,d有最大值,最大值为2.
(3)设抛物线y=的顶点为D.
∵y== ,
∴抛物线的对称轴x=,顶点D(,-).
根据抛物线的对称性,A、O两点关于对称轴对称.
当AO为平行四边形的对角线时,抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形.这时点D即为点E,所以E点坐标为().
当AO为平行四边形的边时,由OA=,知抛物线存在点E的横坐标为或,即或,
分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中,得点E(,)或E(-,).
所以在抛物线上存在三个点:E1(,-),E2(,),E3(-,),使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象相交于点、点,与轴交于点,其中点和点.
(1)填空:___________,________;
(2)求的面积;
(3)根据图象回答:当为何值时,(请直接写出答案)_____________.
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【题目】国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程,解决了农村供电“最后1公里”问题,电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD的平台BC上(如图),测得∠AED=52°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB的高度约为(参考数据:sin52°≈0.79,tan52°≈1.28)( )
A.28米B.29.6米C.36.6米D.57.6米
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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,连接EF,给出下列四个结论,其中正确结论的序号是( )
①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;③△APD一定是等腰三角形;④PD=EC.
A.①②④B.②④C.①②③D.①③④
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=16cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为2cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为4cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s.解答下列问题:
(1)当t为何值时,以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似?
(2)当t为何值时,△EPQ为等腰三角形?
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【题目】某校组织了一次七年级科技小制作比赛,有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品,C班提供的参赛作品的获奖率为50%,其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图①和图②两幅尚不完整的统计图中.
(1)B班参赛作品有多少件?
(2)请你将图②的统计图补充完整;
(3)通过计算说明,哪个班的获奖率高?
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【题目】如图在直角坐标系中△ABC的顶点A、B、C三点坐标为A(7,1),B(8,2),C(9,0).
(1)请在图中画出△ABC的一个以点P(12,0)为位似中心,相似比为3的位似图形△A'B'C'(要求与△ABC在P点同一侧);
(2)直接写出A'点的坐标;
(3)直接写出△A'B'C'的周长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,运动时间为x秒(x>0).
(1)求几秒后,PQ的长度等于5 cm.
(2)运动过程中,△PQB的面积能否等于8 cm2?并说明理由.
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【题目】今年,我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动,坚决把“洋垃圾”拒于国门之外如图,某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时,发现在的北偏东方向,相距海里处的点有一可疑船只正沿方向行驶,点在港口的北偏东方向上,海监船向港口发出指令,执法船立即从港口沿方向驶出,在处成功拦截可疑船只,此时点与点的距离为海里.
(1)求的度数与点到直线的距离;
(2)执法船从到航行了多少海里?(结果保留根号)
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