分析 (1)先利用一次函数解析式和坐标轴上点的坐标特征确定C点和B点坐标,然后把C点和B点坐标代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式;
(2)先解方程$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=0确定A(-1,0),再利用两点间的距离公式计算出AC2=5,BC2=20,AB2=25,然后根据勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形;
(3)分类讨论:当矩形DEFG顶点D在AB上时,点F与C重合,如图1,设CG=x,证明△AGD∽△ACB,利用相似比得到DG=$\frac{1}{2}$($\sqrt{5}$-x),根据矩形面积公式得到S矩形DEFG=-$\frac{5}{2}$x2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$x,则利用二次函数的性质可确定x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时,矩形DEFG的面积最大,最大值为$\frac{5}{8}$;当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时,如图2,CO交GF于H,设DG=x,则OH=x,CH=2-x,通过证明△CGF∽△CAB,利用相似比得到GF=$\frac{5}{2}$(2-x),则S矩形DEFG=-$\frac{5}{2}$x2+5x,则根据二次函数的性质得到x=1时,矩形DEFG的面积最大,最大值为$\frac{5}{2}$,然后比较两个面积的最大值得到矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时,矩形的面积最大,接下来利用相似比计算此时OD,从而得到OE的长,于是得到它们的坐标.
解答 解:(1)当x=0时,y=$\frac{1}{2}$x-2=-2,则C(0,-2),
当y=0时,$\frac{1}{2}$x-2=0,解得x=4,则B(4,0),
把B(4,0),C(0,-2)代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{8+4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$,
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2,
故答案为4,0,0,-2,$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x-2$;
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
当y=0时,$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=0,解得x1=-1,x2=4,则A(-1,0),
∵AC2=12+22=5,BC2=42+22=20,AB2=52=25,
∴AC2+BC2=5+20=25=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°;
(3)能.
当矩形DEFG顶点D在AB上时,点F与C重合,如图1,设CG=x,
∵DG∥BC,
∴△AGD∽△ACB,
∴AG:AC=DG:BC,即($\sqrt{5}$-x):$\sqrt{5}$=DG:2$\sqrt{5}$,解得DG=$\frac{1}{2}$($\sqrt{5}$-x),
∴S矩形DEFG=x•$\frac{5}{2}$($\sqrt{5}$-x)=-$\frac{5}{2}$x2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$x=-$\frac{5}{2}$(x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$)2+$\frac{5}{8}$,
此时x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时,矩形DEFG的面积最大,最大值为$\frac{5}{8}$,
当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时,如图2,CO交GF于H,设DG=x,则OH=x,CH=2-x,
∵GF∥AB,
∴△CGF∽△CAB,
∴GF:AB=CH:CO,即GF:5=(2-x):2,解得GF=$\frac{5}{2}$(2-x),
∴S矩形DEFG=x•$\frac{5}{2}$(2-x)=-$\frac{5}{2}$x2+5x=-$\frac{5}{2}$(x-1)2+$\frac{5}{2}$,
此时x=1时,矩形DEFG的面积最大,最大值为$\frac{5}{2}$,
综上所述,当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时,矩形的面积最大,如图2,
∵DG=1,
∴DE=$\frac{5}{2}$×(2-1)=$\frac{5}{2}$,
∵DG∥OC,
∴△ADG∽△ACO,
∴AD:AO=DG:OC,即AD:1=1:2,解得AD=$\frac{1}{2}$,
∴OD=$\frac{1}{2}$,
∴OE=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2,
∴D(-$\frac{1}{2}$,0),E(2,0).
点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数的性质和矩形的性质;会利用待定系数法求抛物线解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式;能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形;灵活运用相似比计算线段的长.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | b=a(1+8.9%+9.5%) | B. | b=a(1+8.9%×9.5%) | ||
C. | b=a(1+8.9%)(1+9.5%) | D. | b=a(1+8.9%)2(1+9.5%) |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -2 | D. | -$\frac{1}{2}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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