Question

（2002•西藏）已知，如图AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，弦CD与AB交于点E．
（1）求证：△CBE∽△CDB；
（2）若AB=4，设CE的长为x，CD的长为y，写出y与自变量x的函数关系式（不写自变量x的取值范围）．

Answer 1

分析：（1）由两个角对应相等的两个三角形相似即可证明△CBE∽△CDB；
（2）由勾股定理可求出BC的长，由（1）中的结论即可得到y与自变量x的函数关系式．

解答：（1）证明：∵半径OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠D=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠D=45°，
∴∠DCB=∠BCE，
∴△CBE∽△CDB；

（2）∵∠COB=90°，AB=4，
∴OB=OC=4，
∴BC=

OB2+OC2

=4

2

，
∵△CBE∽△CDB，
∴

BC

CD

=

CE

BC

，
∵CE的长为x，CD的长为y，
∴

4 2

y

=

x

4 2

，
∴y=

32

x

．

点评：本题考查了圆周角定理的运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及由相似三角形的性质得到的比例式所引发的线段之间的函数关系．