Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．
（1）求证：∠EAF=45°；
（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连结CG，求证：CG=

2

DF．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）如图，首先把△ABE绕A顺时针旋转到△ADM的位置，然后利用旋转的性质可以证明△AEE≌△AADM，接着利用已知条件可以求出∠EAF=45°．
（2）作GN⊥DC的延长线于N，根据∠AFD=∠AFE，FG平分∠EFC求得∠AFG=90°，根据∠AFG=90°，∠EAF=45°，△AFG是等腰直角三角形得出AF=GF，进而证得△ADF≌△FNG得出FN=AD=DC；GN=DF从而求得CN=GN，得出△CGN是等腰直角三角形根据等腰直角三角形的性质得出CG=

2

CN=

2

DF．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD；∠ADC=∠B=90°
∴将△ABE逆时针旋转90°至△ADM，如图1所示
∴△ABE≌△ADM
∴AM=AE；BE=DM；∠ADM=∠B=90°；∠DAM=∠BAE
∴∠ADM+∠ADC=180°
∴C、D、M在同一直线上
∴EF=DF+BE=DF+DM=MF，
在△AEF和△AMF中，

MF=EF AF=AF AM=AE

，
∴△AEF≌△AMF（SSS），
∴∠AFD=∠AFE，∠MAF=∠EAF
又∵∠MAF+∠EAF=（∠DAM+∠DAF）+∠EAF=（∠BAE+∠DAF）+∠EAF=90°
∴∠EAF=∠MAF=45°

（2）如图2所示，作GN⊥DC的延长线于N，
∵∠AFD=∠AFE，FG平分∠EFC
∴∠EFG=∠CFG，
∴∠AFE+∠EFG=∠AFD+∠CFG=90°，
∴∠AFG=90°
又∠EAF=45°
∴△AFG是等腰直角三角形
∴AF=GF
∵∠FAD+∠AFD=90°
∴∠DAF=∠NFG，
∵∠ADF=∠GNF=90°
在△ADF和△FNG中，

AD=FN ∠DAF=∠NFG AF=FG

，
∴△ADF≌△FNG（SAS），
∴FN=AD=DC；GN=DF
∴CN=FN-CF=DC-CF=DF=GN
∴△CGN是等腰直角三角形
∴CG=

2

CN=

2

DF

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的性质等，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．