【题目】如图，△ABC 中，AB=AC， ∠BAC ＜60°，将线段 AB 绕点 A逆时针旋转 60°得到点 D， 点 E 与点 D 关于直线 BC 对称，连接 CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE 的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点 P，使得 PA - PB =CD 成立？若存在，请用文字描述出点 P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）
是等边三角形，证明见详解；（3）存在，点P在点C左边距离为CE长的位置，证明见详解.
【解析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）连接BD、CE，由旋转的性质及对称的性质利用SAS可证
，易得
，可知是等边三角形；
（3）将
绕点B逆时针旋转
得到
，延长
交直线CE于点P，连接BP，由旋转的性质及已知条件即可确定点P的位置.
解：（1）如图即为所求，
（2）是等边三角形.
如图，连接BD、CE，
由点D与点E关于直线BC对称可知BF垂直平分DE，
由旋转可知
，
为等边三角形
在
和
中，
是等边三角形；
（3）存在，
如图，将绕点B逆时针旋转得到，延长交直线CE于点P，连接BP，
由（2）得是等边三角形，
由旋转可得
，
所以直线CE上存在点 P，使得 PA - PB =CD 成立，点P在点C左边距离为CE长的位置.
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【题目】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）线段AB的长为__，BC的长为__，CD的长为__，AD的长为__；
（2）连接AC，通过计算△ACD的形状是__；△ABC的形状是__．
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【题目】如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝
时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
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【题目】如图，△ABC 中，AB=AC， ∠BAC ＜60°，将线段 AB 绕点 A逆时针旋转 60°得到点 D， 点 E 与点 D 关于直线 BC 对称，连接 CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE 的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点 P，使得 PA - PB =CD 成立？若存在，请用文字描述出点 P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
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【题目】某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：
，
，
，
，
）：
．初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下：
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数 | 中位数 | 方差 | |
初二年级 | 80.8 |
| 96.9 |
初三年级 | 80.6 | 86 | 153.3 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
（2）写出表中
的值；
（3）
同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，
同学看到同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断
同学是________（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是________．
（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为____．
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【题目】某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：
，
，
，
，
）：
．初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下：
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数 | 中位数 | 方差 | |
初二年级 | 80.8 |
| 96.9 |
初三年级 | 80.6 | 86 | 153.3 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
（2）写出表中
的值；
（3）
同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，
同学看到同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断同学是________（填“初二”或“初三”）年级的学，你判断的理由是________．
（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为____．
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【题目】为了迎接2022年的冬奥会，中小学都积极开展冰上运动，小乙和小丁进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩（单位：秒）如表所示：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
小乙 | 45 | 63 | 55 | 52 | 60 |
小丁 | 51 | 53 | 58 | 56 | 57 |
设两人的五次成绩的平均数依次为
乙，丁，成绩的方差一次为
，
，则下列判断中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】问题背景：如图，将
绕点
逆时针旋转60°得到
，
与
交于点
，可推出结论：
问题解决：如图，在
中，
，
，
．点
是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
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【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为_____．
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