Question

17．如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△ADE．
（2）四边形BFDE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质进而推出∠BAE=∠DAE，利用SAS证明△ABE≌△ADE；
（2）连接BD，交AC于点O，首先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明BE=DE，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC，AD∥BC．
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠BCA．
∴∠BAC=∠DAC．
即∠BAE=∠DAE．
在△ABE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADE．
（2）如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD．
又  AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF．
即  OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
又△ABE≌△ADE，
∴BE=DE．
∴四边形BFDE是菱形．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的判定方法以及利用SAS证明两个三角形全等．