Question

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．
（1）判断四边形ABDE的形状，并说明理由；
（2）问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．

Answer 1

（1）解：四边形ABDE是平行四边形，
理由如下：
∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，
∴DF∥AB，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，
∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠NAD=90°，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：CE∥AD，CE=AD；
理由如下：
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∴CE∥AD，CE=AD．
分析：（1）四边形ABDE是平行四边形，有等腰三角形的性质和中位线的性质可证明：AB∥DE，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义证明AE∥BD，进而证明四边形ABDE的形状为平行四边形；
（2）CE∥AD，CE=AD；证明四边形ADCE为矩形即可；
点评：本题的考点：外角的性质，等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】）平行四边形和矩形的判定和性质．