Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），点A关于原点的对称点为B
（1）填空：点B的坐标为（$\sqrt{3}$，0）．
（2）若以AB为一边向上作一个等边三角形ABC，求点C的坐标．
（3）在（2）的条件下，点C关于x轴的对称点为D．
①四边形ACBD为菱形．
②求四边形ACBD的周长与面积．

Answer 1

分析 （1）由关于原点的对称的点的坐标特征，即可得出点B的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出BC=AB=2OB=2$\sqrt{3}$，∠OBC=60°，由三角函数求出OC，即可得出点C的坐标；
（3）①由关于x轴对称的点的坐标特征得出点D的坐标，OC=OD，得出CD=2OC=6，得出四边形ACBD是平行四边形，由对角线互相垂直即可得出四边形ACBD是菱形；
②菱形ACBD的周长=4BC，菱形ACBD的面积=$\frac{1}{2}$AB×CD，即可得出结果．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），点A关于原点的对称点为B，
∴点B的坐标为（$\sqrt{3}$，0），OB=OA；
故答案为：$\sqrt{3}$，0；
（2）如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2OB=2$\sqrt{3}$，∠OBC=60°，
∴OC=OB•tan∠OBC=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
∴点C的坐标为（0，3）；
（3）①∵点C关于x轴的对称点为D，
∴点D的坐标为（0，-3），
∴OC=OD，
∴CD=2OC=6，
∵OB=OA，
∴四边形ACBD是平行四边形，
又∵AB⊥CD，
∴四边形ACBD是菱形；
故答案为：菱；
②菱形ACBD的周长=4BC=8$\sqrt{3}$，
菱形ACBD的面积=$\frac{1}{2}$AB×CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了关于原点和关于x轴对称的点的坐标特征、等边三角形的性质、菱形的判定与性质、三角函数、菱形周长和面积的计算方法；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握关于原点和关于x轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键．