Question

【题目】如图，已知△ABC，∠B=90゜，AB=3，BC=6，动点P、Q同时从点B出发，动点P沿BA以1个单位长度/秒的速度向点A移动，动点Q沿BC以2个单位长度/秒的速度向点C移动，运动时间为t秒．连接PQ，将△QBP绕点Q顺时针旋转90°得到△，设△与△ABC重合部分面积是S．

（1）求证：PQ∥AC；

（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题意可得出，继而可证明△BPQ∽△BAC，从而证明结论；

（2）由题意得出QP`⊥AC，分三种情况利用相似三角形的判定及性质讨论计算．

解：（1）∵BP=t，BQ=2t，AB=3，BC=6

∴

∵∠B=∠B

∴△BPQ∽△BAC

∴∠BPQ=∠A

∴PQ∥AC

（2）∵BP=t

BQ=2t

∴P`Q=

∵AB=3 BC=6

∴AC=3

∵PQ∥AC

∴QP`⊥AC

当0<t≤时，S=t2

当<t≤1时：

设QP`交AC于点M

P`B`交AC于点N

∴∠QMC=∠B=90°

∴△QMC∽△ABC

∴

∴

∴QM=

∵P`Q=t

∴P`M=

又∵∠P`=∠BPQ=∠A

∴△P`NM∽△ACB

∴

∴MN=2P`M

∴S△P`MN=P`M·MN=P`M2=

∴

当1<t≤3时

设QB`交AC于点H

∵∠HQM=∠PQB

∴△HMQ∽△PBQ

∴

∴MH=MQ

∴

综合上所述：