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20.【问题情境】:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.

小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC.
(1)按小明的思路,求∠APC的度数;
【问题迁移】:
如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?请说明理由;
【问题应用】:
(3)在(2)的条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.

分析 (1)过P作PE∥AB,通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°,∠PCD=120°可求∠APC即可;
(2)过P作PE∥AD交AC于E,推出AB∥PE∥DC,根据平行线的性质得出∠α=∠APE,∠β=∠CPE,即可得出答案;
(3)分两种情况:P在BD延长线上;P在DB延长线上,分别画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠APE,∠β=∠CPE,即可得出答案.

解答 (1)解:过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.

(2)∠APC=∠α+∠β,
理由:如图2,过P作PE∥AB交AC于E,

∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;

(3)如图所示,当P在BD延长线上时,
∠CPA=∠α-∠β;

如图所示,当P在DB延长线上时,
∠CPA=∠β-∠α.

点评 本题主要考查了平行线的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力,题目是一道比较典型的题目,解题时注意分类思想的运用.

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(2)∵∠3=∠5(已知)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∴∠ABC+∠BCD=180°(两直线平行,同旁内角互补)

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