Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，点E在BA的延长线上，AE=BC，∠AED=α．
（1）求证：∠BCD=2α；
（2）当ED平分∠BEC时，求证：△EBC是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先连接AC，由在梯形ABCD中，AD∥BC，易得∠EAD=∠B，然后利用SAS即可判定△DEA≌△ABC，继而求得∠BCA=∠AED=α，又由AD=CD，即可求得∠DCA=∠DAC=∠ACB=α，则可证得：∠BCD=2α；
（2）由ED平分∠BEC时，可得∠BEC=2α，然后求得∠B=2α，∠BCE=4α，即可求得∠BCE=90°，BC=CE，即可判定△EBC是等腰直角三角形．
解答：证明：（1）连接AC，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，
在△DEA和△ABC中，
，
∴△DEA≌△ABC（SAS），
∵∠AED=α，
∴∠BCA=∠AED=α，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠DAC=∠ACB=α，
∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=2α；

（2）∵ED平分∠BEC，
∴∠AEC=2∠AED=2α．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠EAD=∠B=∠BCD=2α=∠AEC，
∴CE=BC=AE，
∴∠ECA=∠EAC=∠EAD+∠DAC=3α，
∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=4α．
∵∠B+∠BEC+∠BCE=180°，
∴2α+2α+4α=180°，
∴∠ECB=4α=90°．
∴△EBC是等腰直角三角形．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握辅助线的作法．