【题目】如图,直线y=x+b与y轴交于点A(0,4),与函数y=(k>0,x<0)的图象交于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,使顶点B,D落在x轴上(点D在点B的右边),BD与AC交于点E.
(1)求b和k的值;
(2)求顶点B,D的坐标.
【答案】(1)4,24;(2)B(﹣8,0),D(2,0)
【解析】
(1)根据点A坐标可以确定b的值,得出直线的解析式,令y=0,求得E的坐标,由E(﹣3,0)是AC的中点,推出点C(﹣6,﹣4),然后根据待定系数法即可求得k;
(2)根据勾股定理求得AE,利用矩形的性质EA=EB=ED,即可解决问题;
解:(1)∵直线y=x+b与y轴交于点A(0,4),
∴b=4,
∴直线为y=x+4,
令y=0,解得x=﹣3,
∴E(﹣3,0),
∵四边形ABCD是矩形,
∴E(﹣3,0)是AC的中点,
∴C(﹣6,﹣4),
∵点C在函数y=的图象上,
∴k=﹣6×(﹣4)=24;
(2)∵AE2=AO2+EO2,
∴AE==5,
∵四边形ABCD是矩形,
∴ED=EB=EA=5,
∴B(﹣8,0),D(2,0).
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【题目】(操作发现)
如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′;
(2)在(1)所画图形中,∠AB′B=____.
(问题解决)
(3)如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.
小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:
想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;
想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.…
请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)
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【题目】如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,点P和点Q分别从点B和点C出发,沿射线BC向右运动,且速度相同,过点Q作QH⊥BD,垂足为H,连接PH,设点P运动的距离为x(0<x≤2),△BPH的面积为S,则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB上,AD=DE=AB,连接DE.将△ADE绕点A逆时针方向旋转,记旋转角为θ.
(1)问题发现
①当θ=0°时,= ;
②当θ=180°时,= .
(2)拓展探究
试判断:当0°≤θ<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决
①在旋转过程中,BE的最大值为 ;
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时,线段CD的长为 .
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【题目】新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元,今年1~5月份,每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%,今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意,列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
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【题目】在△ABC中,∠ACB=45°,点D为射线BC上一动点(与点B、C不重合),连接AD,以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,如图1,且点D在线段BC上运动,判断∠BAD ∠CAF(填“=”或“≠”),并证明:CF⊥BD
(2)如果AB≠AC,且点D在线段BC的延长线上运动,请在图2中画出相应的示意图,此时(1)中的结论是否成立?请说明理由;
(3)设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P,若AC=4,CD=2,求线段CP的长.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD为∠ABC的角平分线,F为AC的中点,AE∥BC交BD的延长线于点E,其中∠FBC=2∠FBD.
(1)求∠EDC的度数.
(2)求证:BF=AE.
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【题目】某地为打造宜游环境,对旅游道路进行改造.如图是风景秀美的观景山,从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道,为方便游客登顶观景,欲从D到A修建电动扶梯,经测量,山高AC=154米,步行道BD=168米,∠DBC=30°,在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号).
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