Question

6．已知抛物线y=x²+（2m+1）x+m（m-3）（m为常数，-1≤m≤4）．A（-m-1，y₁），B（$\frac{m}{2}$，y₂），C（-m，y₃）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．
（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）若无论m取何值，抛物线与直线y=x-km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；
（3）当1＜PH≤6时，试比较y₁，y₂，y₃之间的大小．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标公式即可解决问题．
（2）列方程组根据△=0解决问题．
（3）首先证明y₁=y₃，再根据点B的位置，分类讨论，①令$\frac{m}{2}$＜-m-1，求出m的范围即可判断，②令$\frac{m}{2}$=-m-1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．
③令$\frac{m}{2}$＞-m-1，求出m的范围即可判断，④令-$\frac{2m+1}{2}$≤$\frac{m}{2}$＜-m，求出m的范围即可判断，⑤令$\frac{m}{2}$=-m，B，C重合，不合题意舍弃．⑥令$\frac{m}{2}$＞-m，求出m的范围即可判断．

解答 解：（1）∵-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2m+1}{2}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4m（m-3）-（2m+1）^{2}}{4}$=-$\frac{16m+1}{4}$，
∴顶点坐标（-$\frac{2m+1}{2}$，-$\frac{16m+1}{4}$）．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+（2m+1）x+m（m-3）}\\{y=x-km}\end{array}\right.$消去y得x²+2mx+（m²+km-3m）=0，
∵抛物线与x轴有且仅有一个公共点，
∴△=0，即（k-3）m=0，
∵无论m取何值，方程总是成立，
∴k-3=0，
∴k=3．
（3）PH=|-$\frac{2m+1}{2}$-（-$\frac{16m+1}{4}$）|=|$\frac{12m-1}{4}$|，
∵1＜PH≤6，
∴当$\frac{12m-1}{4}$＞0时，有1＜$\frac{12m-1}{4}$≤6，又-1≤m≤4，
∴$\frac{5}{12}$＜m$≤\frac{25}{12}$，
当$\frac{12m-1}{4}$＜0时，1＜-$\frac{12m-1}{4}$≤6，又∵-1≤m≤4，
∴-1$≤m＜-\frac{1}{4}$，
∴-1≤m＜-$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$，
∵A（-m-1，y₁）在抛物线上，
∴y₁=（-m-1）²+（2m+1）（-m-1）+m（m+3）=-4m，
∵C（-m，y₃）在抛物线上，
∴y₃=（-m）²+（2m+1）（-m）+m（m-3）=-4m，
∴y₁=y₃，
①令$\frac{m}{2}$＜-m-1，则有m＜-$\frac{2}{3}$，结合-1≤m＜-$\frac{1}{4}$，
∴-1≤m＜-$\frac{2}{3}$，
此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，
∴y₂＞y₁=y₃，
即当-1≤m＜-$\frac{2}{3}$时，有y₂＞y₁=y₃．
②令$\frac{m}{2}$=-m-1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．
③令$\frac{m}{2}$＞-m-1，且$\frac{m}{2}$≤-$\frac{2m+1}{2}$时，有-$\frac{2}{3}$＜m≤-$\frac{1}{3}$，结合-1≤m＜-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{2}{3}$＜m≤-$\frac{1}{3}$，
此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，
∴y₁=y₃＞y₂，
即当-$\frac{2}{3}$＜m≤-$\frac{1}{3}$时，有y₁=y₃＞y₂，
④令-$\frac{2m+1}{2}$≤$\frac{m}{2}$＜-m，有-$\frac{1}{3}$≤m＜0，结合-1≤m＜-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{3}$≤m＜-$\frac{1}{4}$，
此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，
∴y₂＜y₃=y₁．
⑤令$\frac{m}{2}$=-m，B，C重合，不合题意舍弃．
⑥令$\frac{m}{2}$＞-m，有m＞0，结合$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$，
∴$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$，
此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，
∴y₂＞y₃=y₁，
即当$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$时，有y₂＞y₃=y₁，
综上所述，-1≤m＜-$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{12}$＜m≤$\frac{25}{12}$时，有y₂＞y₁=y₃，
-$\frac{2}{3}$＜m＜-$\frac{1}{4}$时，有y₂＜y₁=y₃．

点评 本题考查二次函数综合题、顶点坐标公式等知识，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式解决抛物线与直线的交点问题，学会分类讨论，学会利用函数图象判断函数值的大小，属于中考压轴题．