Question

如图，AD是⊙O的直径，过⊙O上一点E作直线L，交AD的延长线于点B，AC⊥L于点C，AC交⊙O于点G，E为劣弧GD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AG=6，CE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OE，OE=OA，则得∠OEA=∠OAE，又由“E为劣弧GD的中点”推知

GE

=

ED

，所以∠GAE=∠OAE，则∠OEA=∠GAE，所以OE∥AC，因此OE⊥BC，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）利用切线的性质、圆周角定理证得四边形GCEF是矩形；然后根据矩形的性质、三角形中位线定理来求圆O的半径．

解答：（1）证明：连接OE，GD交于F．
∵AD是⊙O的直径，
∴OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵E为劣弧GD的中点，
∴

GE

=

ED

，
∴∠GAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠GAE，
∴OE∥AC，
又AC⊥BC，
∴OE⊥BC．
又OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径是r．
由（1）知，OE⊥BC，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AGD=90°，
∴AG⊥GD．
∵AC⊥BC，
∴GD∥BC．
∴四边形GCEF是矩形，则则CE=GF=4．
∵OE是半径，GD是非直径的弦，
∴GF=FD=4，GD=8．
∵AG=6，
∴AD=10，半径为5．
即⊙O的半径是5．

点评：此题考查的知识点是切线的判定、等腰三角形的判定与性质，关键（1）是先由半径的等腰三角形得角相等，等弧的圆周角相等，得OE∥AC，即得AC⊥BC，从而得证；（2）关键是先证得OF是三角形AGD的中位线，从而求出半径r．