Question

13．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+2交坐标轴于E，C两点，A（-2，0），B（2，0），D为直线上一点，且AD⊥BD，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）经过D点．
（1）求k的值；
（2）求BD-AD的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=$\frac{1}{2}$x+2交坐标轴于E，C两点，求得OE=4，OC=2，根据勾股定理得到CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$由A（-2，0），B（2，0），证得△ABC是等腰直角三角形，推出A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACE=∠ABD，推出△ACE∽△BDE，根据相似三角形的性质列比例式求得ED=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，过D作DF⊥OE于F，根据平行线分线段成比例列比例式求得DF=$\frac{6}{5}$，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{BE}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{BD}=\frac{2\sqrt{5}}{6}$，求得BD=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，由勾股定理得到AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，即可得到结果．

解答 解：（1）直线y=$\frac{1}{2}$x+2交坐标轴于E，C两点，
令y=0，则x=-4，令x=0，则y=2，
∴OE=4，OC=2，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∵A（-2，0），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥BD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AED=∠CEA，
∴△ACE∽△BDE，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{ED}$，
∴ED=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
过D作DF⊥OE于F，
∴DF∥OC，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{DF}{OC}$，即$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{DF}{2}$，
∴DF=$\frac{6}{5}$，
∵D在y=$\frac{1}{2}$x+2上，
∴D（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
把D（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=-$\frac{48}{25}$；

（2）∵△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{BE}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{BD}=\frac{2\sqrt{5}}{6}$，
∴BD=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴BD-AD=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理，圆周角定理，证得△ACE∽△BDE是解题的关键．