Question

如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径的⊙O交BC、BD于Q、P点，AQ交BD于E点，若BP=PD．
（1）求证：平行四边形ABCD为菱形；
（2）若AE=4，EQ=2，求梯形AQCD的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AP，因为AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到AP垂直BD，又因题中已知BP=DP，可得AP为BD的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=AD，又四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）根据菱形的性质可得AB=BC及AD平行BC，利用平行可得两对内错角的相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得△ADE∽△QBE，利用相似三角形的对应边成比例可得BQ与AD 的比为2：1，又AD=BC，等量代换可得点Q为BC的中点，再根据直径所对的圆周角为直角得到AQ垂直BC，从而得到AQ为BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=AC，又AB=BC，得到三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的三线合一可得∠CAQ=30°，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半得到AC=2CQ，设CQ=x，则AC=2x，又AQ=6，根据勾股定理列出关于x的方程，解出x的值即可求出CQ与AC的长，根据AC=BC=AD，进而得到AD的长，最后根据梯形的面积公式即可求出结果．

解答：（1）证明：连接AP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
即AP⊥BP，
又∵BP=PD，
∴AP是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠QBE，∠EAD=∠EQB，
∴△ADE∽△QBE
∴

AD

BQ

=

AE

EQ

=

2

1

，
又AD=BC，
∴

BQ

BC

=

1

2

，即Q为BC中点，
又∵AB为直径，
∴AQ⊥BC，而BQ=CQ，
∴AQ是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为正三角形，
∴∠CAQ=30°，
设CQ=x，则AC=2x，又AQ=AE+EQ=6，
根据勾股定理得：（2x）²=x²+36，
解得：x=2

3

，
∴CQ=2

3

，
∴AC=BC=AD=4

3

，
则梯形AQCD的面积为

1

2

（4

3

+2

3

）×6=18

3

．

点评：此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及菱形的判定与性质等，第一问是利用邻边相等的平行四边形为菱形来证明的，第二项判断出所求面积的四边形为梯形，然后围绕梯形面积的公式中的上底，下底及高逐一求出，进而求出梯形的面积，本题的综合性比较强，要求学生掌握知识要全面，运用知识要灵活．