Question

如图甲，在菱形ABCD中，AC与BD交于O，AC=8，AD=5，DE⊥CD，垂足为E，交AC于F．
（1）填空：△ODF∽△______（只写一个三角形）；
（2）求OF的长；
（3）△DCE沿ED剪下，再把△DCE绕EC翻转，平移拼接成如图乙所示（拼接后D、E两点正好交换位置），判断此时四边形ABDC是什么特殊四边形（不证明）？并求图乙中的AC长．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由菱形的性质得出∠ACD=∠ACB，由对顶角的性质得出∠AFD=∠CFE，再由直角三角形的性质得出∠ODF=∠ACD，故可得出结论；
（2）先根据AC=8，AD=5求出OD的长，由（1）可知△ODF∽△OCD，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OF的长；
（3）先根据菱形的性质判断出四边形ABDC的形状，再得出DE的长，在Rt△DEC中利用勾股定理可求出CE的长，故可得出AC的长．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD=∠ACB，
∵DE⊥BC，
∴∠ACB+∠CFE=90°，
∵∠DFO+∠ODF=90°，∠CFE=∠DFE，
∴∠ODF=∠ACB，
∴∠ODF=∠ACD，
∴：△ODF∽△OCD，
故答案为：△OCD（答案不唯一）；

（2）在菱形ABCD中，
∵BD⊥AC，AC=8，AD=5，
∴OA=4，OD=3，
由（1）知，△ODF∽△OCD，
∴，即3²=4×OF，解得，OF=；

（3）在图乙中，
∵AC∥BD，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵DE•BC=AC•BD=×6×8，解得DE=，
在Rt△DEC中，
∵DE²+CE²=CD²，即（）²+CE²=25，解得CE=，
∴AC=AE+CE=5+=．
点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的性质等相关知识，熟知菱形的知识是解答此题的关键．