Question

【题目】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．

（1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；

（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．

【解析】

（1）先根据SAS证得△ACF≌△AEF，推出∠E＝∠ACF，再根据等腰三角形性质推出∠E＝∠ABF，即可得出结论；

（2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF＝FC＝BM，AF＝AM，再证得△AMF是等边三角形，于是可得MF＝AF，即可证得结论；

（3）连接CF，延长BA、CF交N，根据ASA证△BFC≌△BFN，推出CN＝2CF＝2EF，再根据ASA证明△BAD≌△CAN，推出BD＝CN，即可得出答案．

证明：（1）∵AF平分∠CAE，∴∠EAF＝∠CAF，

∵AB＝AC，AB＝AE，∴AE＝AC，

在△ACF和△AEF中，，

∴△ACF≌△AEF（SAS），

∴∠E＝∠ACF，

∵AB＝AE，∴∠E＝∠ABE，

∴∠ABE＝∠ACF．

（2）∵△ACF≌△AEF，∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM，

在FB上截取BM＝CF，连接AM，如图2，

在△ABM和△ACF中，，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∴∠MAF＝∠MAC+∠CAF＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，

∵AM＝AF，∴△AMF为等边三角形，

∴AF＝AM＝MF，

∴AF+EF＝BM+MF＝FB，

即AF+EF＝FB．

（3）连接CF，延长BA、CF交于点N，如图3，

∵∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，AB＝AC，

∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

由（1）的结论得：∠ACF＝∠ABF＝22.5°，

∴∠BFC＝180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°＝90°，

∴∠BFN＝∠BFC＝90°，

在△BFN和△BFC中，，

∴△BFN≌△BFC（ASA），∴CF＝FN，

由（2）题得：CF＝EF，

则CN＝2CF＝2EF，

∵∠BAC＝90°，∴∠NAC＝∠BAD＝90°，

在△BAD和△CAN中，，

∴△BAD≌△CAN（ASA），

∴BD＝CN＝2CF＝2EF．