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【题目】问题背景:

1,等腰ABC中,AB=ACBAC=120°,过点AADBC于点D,则DBC的中点,BAD=BAC=60°;于是==

1)迁移应用:

如图2ABCADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120°DEC三点在同一条直线上,连接BD.求证:CD=AD+BD

2)拓展延伸

如图图3,在菱形ABCD中,ABC=120°,在ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CECF.若AE=5CE=2,求BF的长.

【答案】1)见解析;(2BF=3

【解析】

1)AHCDH,易证△DAB≌△EAC,BD=CE,由∠ADH=30°,得DH=AD,结合DH=HE,即可得到结论;

2)作BHAEH,连接BE,易得BC=BE=BD=BA,从而得ADEC四点共圆,进而得△EFC是等边三角形,可得FH=4.5,结合∠BFH=30°,即可求解.

1)如图2中,作AHCDH

ABCADE都是等腰三角形,∠BAC=DAE=120°

AD=AEAB=AC,∠DAB=EAC

∴△DAB≌△EAC(SAS

BD=CE

∵∠ADH=(180°-120°)÷2=30°,

∴在RtADH中,DH=AD

AD=AEAHDE

DH=HE

CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD

2)如图3中,作BHAEH,连接BE

∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°

∴△ABDBDC是等边三角形,

BA=BD=BC

EC关于BM对称,

BC=BE=BD=BAFE=FC

ADEC四点共圆,

∴∠ADC=AEC=120°

∴∠FEC=60°

∴△EFC是等边三角形,

EC=EF=2

AE=5,

AH=HE=2.5

FH=4.5

∵在RtBHF中,∠BFH=30°

=cos30°

BF=4.5÷=3

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