Question

在△ABC外作等腰△ABM和△CAN使其顶角∠BAM=∠CAN=60°，取BC、BM、CN的中点D、E、F，连接DE、DF，求证：DE=DF．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接MC和BN，首先证明△ABM和△CAN都是等边三角形，然后证明△AMC≌△ABN，证得MC=BN，然后在△BCM和△BCN中利用三角形的中位线定理即可证得．

解答：证明：连接MC和BN．
∵等腰△ABM和△CAN使其顶角∠BAM=∠CAN=60°，
∴△ABM和△CAN都是等边三角形，
∴AM=AB，AC=AN，∠MAB=∠CAN=60°，
∴∠MAC=∠BAN，
∴在△AMC和△ABN中，

AM=AB ∠MAC=∠BAN AC=AN

，
∴△AMC≌△ABN，
∴MC=BN．
∵D、E是BC和BM的中点，即DE是△BCM的中位线，
∴DE=

1

2

MC，
同理DF=

1

2

BN．
∴DE=DF．

点评：本题是三角形的全等的判定与性质，以及三角形的中位线定理的综合应用，正确证明MC=BN是关键．