Question

在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y=-

m-1

3

x²+（m-2）x+4m-7与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）若E、F是 y 轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上面），且EF=2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E、F的坐标；
（3）若Q是线段AC上一点，且S_△COQ=2S_△AOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内存在一点N，使得以 O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N的坐标

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件求出抛物线的解析式，再根据A、B两点求出∠OBC的度数和∠OBD的度数，再证出直线BD与x轴关于直线BC对称，再设直线BD的解析式为y=kx+b，再把各点代入，最后求出结果即可．
（2）本题可先过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，证出四边形PHEF为平行四边形得出HE=PF，再根据已有的条件证出Rt△AOE∽Rt△AGH，最后即可求出点E、F的坐标．
（3）本题根据已有的条件，再结合图形，可以直接写出点N的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

m-1

3

x2+（m-2）x+4m-7关于y轴对称，
∴m-2=0．
∴m=2．
∴抛物线的解析式是y=-

1

3

x2+1
令y=0，得x=±

3

∴A（-

3

，0），B（

3

，0）
在Rt△BOC中，OC=1，OB=

3

，可得∠OBC=30°．
在Rt△BOD中，OD=3，OB=

3

，可得∠OBD=60°．
∴BC是∠OBD的角平分线．
∴直线BD与x轴关于直线BC对称．
因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，
则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y=-

1

3

x2+1的交点．
设直线BD的解析式为y=kx+b．
∴

3 k+b=0 b=3

，
∴

k=- 3 b=3

，
∴直线BD的解析式为y=-

3

x+3
∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x，-

3

x+3)
又因为点P在抛物线y=-

1

3

x2+1上，
∴-

3

x+3=-

1

3

x2+1
∴x1=

3

，x2=2

3

．
∴y₁=0，y₂=-3
∴点P的坐标是(2

3

，-3)．

（2）过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，连接AH与y轴交于点E，在y轴的负半轴上截取EF=2．

∵PH∥EF，PH=EF，
∴四边形PHEF为平行四边形，有HE=PF．
又∵PB、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小．
∵OE∥GH，
∴Rt△AOE∽Rt△AGH．
∴

OE

GH

=

AO

AG

．
∴OE=

3

3 3

=

1

3

．
∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

．
∴点E的坐标为（0，-

1

3

），点F的坐标为（0，-

7

3

）．

（3）点N的坐标是N1(

3

8

3

，

3

2

）或N2(

3

19

57

，

12

19

19

）或N3(-

24

19

3

，

18

19

)．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．