Question

为推进节能减排，深化“宜居重庆”的建设，我市某公司用480万元引进“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该公司生产“草甘磷”产品的每件成本费为40元，该产品的销售单价定在100元到300元之间，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格在100元的基础上，每增加10元，相应的年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件新产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，相应的年销售量将减少1万件．设该公司生产该产品销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）．（年获利=年销售额-生产成本-节电投资）
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求该公司节电投资后，第一年生产该产品的年获利w与x间的函数关系式，并说明第一年是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该公司节电投资后，第二年把该产品的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，且希望第二年的年盈利为1840万元，请你参考以下数据，通过计算估算出第二年此情况下该产品销售单价的整数值．（参考数据：，）

Answer 1

解：（1）这个显然是一个分段函数，
y=20-×0.8
=-0.08x+28，（100≤x＜200）
可见x=200元时，y=28-16=12（万件）
y=12-×1=-0.1x+32，（200≤x≤300）．

（2）投资成本为480+1520=2000万元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x²+31.2x-3120
=-0.08（x-195）²-78
可见第一年在100≤x＜200注定亏损，x=195时亏损最少，为78万元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x²+36x-3280
=-0.1（x-180）²-40
可见第一年在200≤x≤300注定亏损，x=200时亏损最少，为80万元
综上可见，x=195时亏损最少，为78万元．

（3）根据第二年的盈利为1840万元，第二年：100≤x≤200时，
第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）²+1922=1840，
整理得出：0.08（x-195）²=82，
（x-195）²=1025，
x-195=±5，
∴x₁=195+5≈195+5×6.40=227（不合题意舍去）；
x₂=195-5≈195-5×6.40=163元．
答：第二年此情况下该产品销售单价为163元时，第二年的盈利为1840万元．
分析：（1）分段讨论当100＜x≤200和当200＜x≤300的函数关系式，
（2）由年获利=年销售额-生产成本-节电投资分别列出当100＜x≤200和200＜x≤300的利润关系式，求出最大利润，
（3）依题意可知，当100＜x≤200时，写出第二年w与x关系为式，由第二年的盈利为1840万元，解得单价x．
点评：本题主要考查了二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．