【题目】如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x与x轴交于O、B两点,顶点为P,连接OP、BP,直线y=x﹣4与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(1)写出点B坐标;判断△OBP的形状;
(2)将抛物线沿对称轴平移m个单位长度,平移的过程中交y轴于点A,分别连接CP、DP;
(i)若抛物线向下平移m个单位长度,当S△PCD= S△POC时,求平移后的抛物线的顶点坐标;
(ii)在平移过程中,试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系,直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围.
【答案】(1)(2,0);等腰直角三角形;(2)(i)或;(ii)当m≥2时,S△POD﹣S△PCD=6;当﹣1≤m<2时,S△POD+S△PCD=6;当m<﹣1时,S△POD﹣S△PCD=6.
【解析】
(1)根据自变量与函数值得对应关系,可得B点坐标,根据配方法,可得顶点坐标,根据勾股定理及勾股定理的逆定理,可得答案;
(2)根据自变量与函数值得对应关系,可得C,D,M点坐标,根据平移规律,可得P点坐标,根据平行于y轴的直线上两点间的距离较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PM的长,(i)根据面积的关系,可得关于m的方程,根据解方程,可得到顶点坐标;(ii)根据三角形的面积,可得答案.
(1)当y=0时,x2﹣2x=0,解得x=0(舍)或x=2,即B点坐标为(2,0),
∵抛物线y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
∴P点坐标为(1,﹣1),由勾股定理,得
OP2=(2﹣1)2+12=2,
∴OP2+BP2=OB2 , OP=BP,
∴△OBP是等腰直角三角形,
(2)解:∵直线y=x﹣4与y轴交于点C,与x轴交于点D,
∴C(0,﹣4),D(4,0),当x=1时,y=﹣3,即M(1,﹣3),
抛物线向下平移m个单位长度,解析式为y=(x﹣1)2﹣(1+m),P(1,﹣1﹣m),
∴
S△PCD=S△PMC+S△PMD= PM|xP﹣xC|= |m﹣2|×4=2|m﹣2|,
(i)S△POC= AC|xP|= ×4×1=2,
∵S△PCD= S△POC,
∴S△PCD=2|m﹣2|=2 ,
解得m=2+ 或m=2﹣ ,
∴或;
(ii)
①当m≥2时,S△PCD=2|m﹣2|=2m﹣4,S△POD=2|m+1|=2m+2,
∴S△POD﹣S△PCD=6
②当﹣1≤m<2时,S△PCD=2|m﹣2=4﹣2m,S△POD=2|m+1|=2m+2,
∴S△POD+S△PCD=6
③当m<﹣1时,S△PCD=2|m﹣2|=4﹣2m,S△POD=2|m+1|=2﹣2m,
∴S△POD﹣S△PCD=6,
综上所述:当m≥2时,S△POD﹣S△PCD=6;当﹣1≤m<2时,S△POD+S△PCD=6;当m<﹣1时,S△POD﹣S△PCD=6.
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【题目】某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处正南方向的B处,且AB=90海里,如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.
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【题目】如图∠A=∠ABC=∠C=45°,E、F分别是AB、BC的中点,则下列结论,①EF⊥BD,②EF=BD,③∠ADC=∠BEF+∠BFE,④AD=DC,其中正确的是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
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【题目】如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上一动点(不与点B、C重合),连接AP,作射线PD,使∠APD=60°,PD交AC于点D,已知AB=a,设CD=y,BP=x,则y与x函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
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【题目】已知经过原点的抛物线与轴的另一个交点为,现将抛物线向右平移个单位长度,所得抛物线与轴交于,与原抛物线交于点,设的面积为,则用表示=__________
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【题目】为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中需修隧道AB,如图,在山外一点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长.(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38, ≈1.73,精确到个位)
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【题目】已知点P(1,3),将线段OP绕原点O按顺时针方向旋转90°得到线段OP′,则点P′的坐标是( )
A. (﹣1,3) B. (1,﹣3) C. (3,﹣1) D. (3,1)
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【题目】 端午节吃粽子时中华民族的传统习惯.五月初五早晨,小丽的妈妈用不透明装着一些粽子(粽子除内部馅料不同外,其他一切相同),其中香肠馅粽子两个,还有一些绿豆馅粽子,现小丽从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为.
(1)求袋子中绿豆馅粽子的个数;
(2)小丽第一次任意拿出一个粽子(不放回),第二次再拿出一个粽子,请你用树形图或列表法,求小丽两次拿到的都是绿豆馅粽子的概率.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点的坐标为(,1),下列结论:①c>0;②b2﹣4ac>0;③a+b=0;④4ac﹣b2>4a,其中错误的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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