Question

如图在平面直角坐标系内，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过A、B两点，且其顶点P在⊙C上。

（1）写出A、B两点的坐标；
（2）确定此抛物线的解析式；

Answer 1

(1) A（1-，0），B（1+，0）；（2）y=-x²+2x+2．

试题分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为H，在Rt△CAH中，已知圆的半径和CH的长（由C点坐标获得），利用勾股定理即可求得AH的长，进而可得到点A的坐标，B点坐标的求法相同．
（2）根据抛物线和圆的对称性知：C、P都在弦AB的垂直平分线上，已知了C点坐标和圆的半径，即可得到点P的坐标，而P为抛物线顶点，可将所求抛物线设为顶点坐标式，然后将A点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而求出该抛物线的解析式．
试题解析:（1）过点C作CH⊥x轴，H为垂足；

又∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB= ；
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-，0），B（1+，0）．
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）；
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+3，
由已知得抛物线经过点B（1+，0），
把点B（1+，0）代入上式，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+2．
考点: 二次函数综合题