Question

操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：

纸片利用率=×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

Answer 1

（1）小明的这个发现正确，理由见解析（2）37.5%（3）．

解：发现：（1）小明的这个发现正确．……………………………（1分）
理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=，AB=2
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．                      
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．
易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，
即∠BAC=90°，
∴AB为该圆的直径．                      ……………………………………（3分）

（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，
∴∠AED=∠EFH，
∵∠ADE=∠EHF=90°，
∴△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．          ……………………………………………………………（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴BC=8，
∴S_△ACB=16．         ………………………………………………………………（1分）
∴该方案纸片利用率=×100%=37.5%；……………………………………（1分）
探究：（3）．     ………………………………………………………………（3分）
（1）根据勾股定理的逆定理判定
（2）利用△ADE≌△EHF，求出AD=1，即AC=4，利用△ADE∽△ACB, 求出BC="8," 即可求得
S_△ACB，从而得出结论