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4.如图,AB为⊙O的直径,点D、E位于AB两侧的半圆上,射线DC切⊙O于点D,已知点E是半圆弧AB上的动点,点F是射线DC上的动点,连接DE、AE,DE与AB交于点P,再连接FP、FB,且∠AED=45°.
(1)求证:CD∥AB;
(2)填空:
①当∠DAE=67.5°时,四边形ADFP是菱形;
②当∠DAE=90°时,四边形BFDP是正方形.

分析 (1)要证明CD∥AB,只要证明∠ODF=∠AOD即可,根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD,从而可以解答本题;
(2)①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质,可以求得∠DAE的度数;
②根据四边形BFDP是正方形,可以求得∠DAE的度数.

解答 (1)证明:连接OD,如右图所示,
∵射线DC切⊙O于点D,
∴OD⊥CD,
即∠ODF=90°,
∵∠AED=45°,
∴∠AOD=2∠AED=90°,
∴∠ODF=∠AOD,
∴CD∥AB;
(2)①连接AF与DP交于点G,如右上图所示,
∵四边形ADFP是菱形,∠AED=45°,OA=OD,
∴AF⊥DP,∠AOD=90°,∠DAG=∠PEG,
∴∠AGE=90°,∠DAO=45°,
∴∠EAG=45°,∠DAG=∠PEG=22.5°,
∴∠EAD=∠DAG+∠GAE=22.5°+45°=67.5°,
故答案为:67.5°;
②∵四边形BFDP是正方形,
∴BF=FD=DP=PB,
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°,
∴此时点P与点O重合,
∴此时DE是直径,
∴∠EAD=90°,
故答案为:90°.

点评 本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用菱形的性质和正方形的性质解答.

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