Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC
（2）求证：DE是⊙O的切线
（3）若AB=10，∠ABC=30°，求DE的长．

Answer 1

证明：（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC，又D是BC的中点
∴AB=AC （4分）
（2）连OD，
∵O、D分别是AB、BC的中点
∴OD∥AC
∴∠ODE=∠DEC=90°
∴DE是⊙O的切线 （4分）
（3）∵AB=10，∠ABC=30°，
∴AD=5
∵∠ABC=30°
∴∠ODB=30°，∠ADO=60°，∠ADE=30°
DE=5cos30°=
∴DE的长为（2分）
分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC；
（2）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线．
点评：本题目考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．