Question

14．已知抛物线y=a（x+4）（x-6）与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），顶点为P，且点P在直线y=2x+m上．
（1）试用含m的代数式表示a；
（2）若△ABP为直角三角形，试求该抛物线和直线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与x轴的交点问题得到A（-4，0），B（6，0），则抛物线的对称轴为直线x=1，所以P点坐标可表示为（1，-25a），然后根据一次函数图象上点的坐标特征得到-25a=2+m，再用m表示a即可；
（2）根据抛物线的对称性可判断△ABP为等腰直角三角形，作PC⊥x轴于C，如图，根据等腰直角三角形的性质得PC=$\frac{1}{2}$AB，即|-25a|=$\frac{1}{2}$×（6+4），解得a=±$\frac{1}{5}$，则可分别计算出对应的m的值，然后写出对应的抛物线解析式和直线解析式．

解答 解：（1）∵抛物线解析式为y=a（x+4）（x-6），
∴A（-4，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
即P点的横坐标为1，
∴P（1，-25a），
又∵P在直线y=2x+m上，
∴-25a=2+m，
∴a=-$\frac{m+2}{25}$；
（2）由抛物线的对称性可知，△ABP为等腰直角三角形，且∠APB=90°，
作PC⊥x轴于C，如图，则PC=$\frac{1}{2}$AB，
∴|-25a|=$\frac{1}{2}$×（6+4），
∴a=±$\frac{1}{5}$，
当a=$\frac{1}{5}$时，-$\frac{m+2}{25}$=$\frac{1}{5}$，解得m=-7，此时抛物线解析式为y=$\frac{1}{5}$（x+4）（x-6），即y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{2}{5}$x-$\frac{24}{5}$，直线解析式为y=2x-7；
当a=-$\frac{1}{5}$时，-$\frac{m+2}{25}$=-$\frac{1}{5}$，解得m=3，此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{5}$（x+4）（x-6），即y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{2}{5}$x+$\frac{24}{5}$，直线解析式为y=2x+3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．