Question

【题目】定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高”，如图，△ABC是BC边上的“半高”三角形．点P在边AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，连接MQ．

（1）请证明△APQ为PQ边上的“半高”三角形．

（2）请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；

（3）若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）2PM＝BM+CN，理由见解析；（3）.

【解析】

（1）根据平行相似，证明△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比：，由“半高”三角形的定义可结论；

（2）证明四边形PMNQ是矩形，得PQ＝MN，PM＝KR，代入AR＝BC，可得结论；

（3）先根据△ABC的面积等于16，计算BC和AR的长，设MN＝x，则BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝（8﹣x），根据勾股定理表示MQ，配方可得最小值．

（1）证明：如图，过A作AR⊥BC于R，交PQ于K，

∵△ABC是BC边上的“半高”三角形，

∴AR＝BC，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

∴AK＝PQ，

∴△APQ为PQ边上的“半高”三角形．

（2）解：2PM＝BM+CN，理由是：

∵PM⊥BC，QN⊥BC，

∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，

∴四边形PMNQ是矩形，

∴PQ＝MN，PM＝KR，

∵AK＝PQ，AR＝BC，

∴AK+RK＝（BM+MN+CN），

PQ+PM＝BM+MN+CN，

∴2PM＝BM+CN；

（3）解：∵△ABC的面积等于16，

∴＝16，

∵AR＝BC，

＝16，

BC＝8，AR＝4，

设MN＝x，则BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝（8﹣x），

∵MQ＝，

∴当x＝时，MQ有最小值是．