Question

如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别在AD，AB，BC，CD上，且AF=BG=CH=DE=x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最小？

Answer 1

考点：正方形的性质,二次函数的最值,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：由题意易知AE=BF=CG=DH=1-x，证得△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH，得EF=FG=GH=HE，进一步得出四边形EFGH是正方形，由正方形的面积建立二次函数求的最值即可．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AF=BG=CH=DE=x，
∴AE=BF=CG=DH=1-x，
∴△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH，
∴EF=FG=GH=HE，
且∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=180°-∠AFE-∠AEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
S_{正方形EFGH}=EF²=AE²+AF²=（1-x）²+x²=2x²-2x+1，
∴当x=-

-2

2×2

时，S有最小值，
即x=

1

2

时，正方形EFGH的面积最小．

点评：此题考查正方形的性质和判定，三角形全等的判定与性质，以及二次函数的性质等知识点，注意理清解答的思路与方法．