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（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=______，a_n=；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值，可令 $数学公式$ ①将①式两边同乘以2，得②，由②减去①式，得S₁₀=__．
（3）若（1）中数列共有20项，设S₂₀=3+9+27+81+…+a₂₀，请利用上述规律和方法计算S₂₀的值．
（4）设一列数 $数学公式$ 的和为S_n，则S_n的值为______．

解：（1）∵9÷3=3，27÷9=3，81÷27=3，
∴这个常数是3，
∵a₁=3=3¹，a₂=9=3²，a₃=27=3³，a₄=81=3⁴，…，
∴a₆=3⁶，a_n=3ⁿ；

（2）∵S₁₀=1+2+2²+2³+…+2¹⁰，①
∴①式两边同乘以2得，2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，②
②-①得，S₁₀=2¹¹-1；

（3）∵S₂₀=3+9+27+81+…+3²⁰，①
∴3S₂₀=9+27+81+…+3²¹，②
②-①得，2S₂₀=3²¹-3，
∴S₂₀= $\text{[math]}$ （3²¹-3）；

（4）∵S_n=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，①
∴ $\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，②
①-②得， $\text{[math]}$ S_n=1- $\text{[math]}$ ，
∴S_n=2- $\text{[math]}$ ．
故答案为：（1）3，3⁶，3ⁿ；（2）2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，2¹¹-1；（4）2- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）观察不难发现，后一个数是前一个数的3倍，然后解答即可；
（2）根据运算过程计算即可得解；
（3）根据（2）的方法，等式两边都乘以3，然后相减进行计算即可得解；
（4）把所列等式两边都乘以 $\text{[math]}$ ，然后相减即可得解．
点评：本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息并理解数列和的求解求解思路是解题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是

；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=

3⁶

，a_n=

3ⁿ

；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2⁹的值，可令S₁₀=1+2+2²+2³+…+2⁹①将①式两边同乘以2，得

2S₁₀=2+2²+2³+…+2⁹+2¹⁰

②，由②减去①式，得S₁₀=

2¹⁰-1

．
（3）若（1）中数列共有30项，设S₃₀=3+9+27+81+…+a₃₀，请利用上述规律和方法计算S₃₀的值．
（4）设一列数1，2，4，8，…，2^n-1的和为S_n，则S_n的值为

2ⁿ-1

．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是

；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=

3⁶

，a_n=

3ⁿ

；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值，可令S10=1+2+22+23+…+210①将①式两边同乘以2，得

2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹

②，由②减去①式，得S₁₀=

2¹¹-1

．
（3）若（1）中数列共有20项，设S₂₀=3+9+27+81+…+a₂₀，请利用上述规律和方法计算S₂₀的值．
（4）设一列数1，

，

，…，

2n-1

的和为S_n，则S_n的值为

2n-1

．

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科目：初中数学 来源： 题型：

探索研究：
（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是

；根据此规律．如果n．（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₁₈=

2¹⁸

，a_n=

2ⁿ

．
（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，
可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰，①
将①式两边同乘以3，得
3S=

3+3²+3³+…+3²⁰+3²¹

，②
由②减去①式，得
S=

321-1

．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a₁，a₂，a₃，…a_n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a_n=

a₁q^n-1

（用含a₁，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么a₁+a₂+a₃+…+a_n=

a1qn-a1

q-1

a1qn-a1

q-1

（用含a₁，q，n的代数式表示）．

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科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=______，a_n=______；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值，可令S10=1+2+22+23+…+210①将①式两边同乘以2，得______②，由②减去①式，得S₁₀=______．
（3）若（1）中数列共有20项，设S₂₀=3+9+27+81+…+a₂₀，请利用上述规律和方法计算S₂₀的值．
（4）设一列数1，

，

，…，

2n-1

的和为S_n，则S_n的值为______．

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