Question

如图，有一块矩形空地，要在这块空地上设计出一个平行四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，并且AE=AH=CG=CF．
（Ⅰ）若已知矩形的长为20m，宽为10m，设CG=x，写出四边形EFGH的面积y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；当CG取多长时，四边形EFGH的面积最大？
（Ⅱ）当矩形的长为a，宽为10时（a＞10），问当CG取多长时，四边形EFGH的面积最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，设CG=x，由图得S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△DHG，可得二次函数关系式，根据其性质，即可解出；
（Ⅱ）根据二次函数的性质，分两种情况：0＜

10+a

4

≤10和

10+a

4

＞10，讨论解答出即可；

解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，BC=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵CG=CF=AE=AH=x，则DG=BE=20-x，DH=BF=10-x，
∴S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△DHG，
=200-x²-（20-x）（10-x），
=-2x²+30x，
其中x的取值范围是0＜x≤10，
当x=

15

2

时，S_{四边形EFGH}最大．

（Ⅱ）同理可得S=-2x²+（10+a）x（0＜x≤10），
当0＜

10+a

4

≤10，且a＞10，即10＜a≤30时，
CG=

10+a

4

时，四边形EFGH的面积最大；
当

10+a

4

＞10，即a＞30时，
CG=10时，四边形EFGH的面积最大．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，应熟练掌握利用二次函数的性质求最值，同时注意分类讨论．