Question

9．如图所示，抛物线过A、B、C三点，B是C的对称点，顶点为D，与x轴的另一交点为E．
（1）求抛物线的关系式；
（2）求四边形ABDE的面积；
（3）△AOB与△BDE是否相似？是与否请证明．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，抛物线的对称性可得到B（0，3），然后将点A、B、C的坐标代入解析式，得到关于a、b、c的方程组，从而可求得a、b、c的值；
（2）过点D作DF⊥OE，垂足为F．先求得点D和点E的坐标，然后依据四边形ABDE的面积=S△AOB+S△DFE的面积+S梯形BOFD的面积求解即可；（3）如图2所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F．先证明△DFB和△BOE均为等腰直角三角形，从而可得到∠BDE=90°，BD：BE=1：3，从而得到AO：OB=BD：BE，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△AOB∽△DBE即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
∵由函数图象可知点B与点C关于对称轴对称，
∴点B与点C的纵坐标相同，
∴点B的坐标为（0，3）．
∵将点A、B、C的坐标代入函数的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=3}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
（2）如图1所示：过点D作DF⊥OE，垂足为F．

∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
∵令-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴E（3，0）．
∴四边形ABDE的面积=$\frac{1}{2}$OA•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DF）•OF+$\frac{1}{2}$DF•EF=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（3+4）×1$+\frac{1}{2}$×2×4=9．
（3）如图2所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F．

∵D（1，4），B（0，3），
∴BF=FD．
∴∠FBD=45°．
∵B（0，3），E（3，0），
∴OB=EO．
∴∠OBE=45°．
∴∠DBE=90°．
∵$\frac{BF}{FD}=\frac{OB}{OE}$且∠DFB=∠BOE=90°，
∴△DFB∽△BOE．
∴$\frac{DB}{BE}=\frac{BF}{OE}$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{AO}{OB}=\frac{DB}{BE}=\frac{1}{3}$．
∵∠AOB=∠DBE=90°，
∴△AOB∽△DBE．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、割补法求不规则图形的面积、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证得△EDB为直角三角形且AO：OB=BD：BE是解题的关键．