Question

一条抛物线y=x²+mx+n经过点（0，3）与（4，3）．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标；
（3）⊙P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y=x²+mx+n，使⊙P与两坐标轴都相切．（要说明平移方法）

Answer 1

解：（1）∵抛物线过（0，3）（4，3）两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式是y=x²-4x+3，顶点坐标为（2，-1）．

（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），
当⊙P与y轴相切时，有|x₀|=1，
∴x₀=±1．
由x₀=1，得y₀=1²-4+3=0；
由x₀=-1，得y₀=（-1）²-4（-1）+3=8．
此时，点P的坐标为P₁（1，0），P₂（-1，8）．
当⊙P与x轴相切时，有|y₀|=1，
∴y₀=±1．
由y₀=1，得x₀²-4x₀+3=1，解得；
由y₀=-1，得x₀²-4x₀+3=-1，解得x₀=2．
此时，点P的坐标为P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．
综上所述，圆心P的坐标为：P₁（1，0），P₂（-1，8），P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．
注：不写最后一步不扣分．

（3）由（2）知，不能．
设抛物线y=x²-4x+3上下平移后的解析式为y=（x-2）²-1+h，
若⊙P能与两坐标轴都相切，则|x₀|=|y₀|=1，
即x₀=y₀=1；或x₀=y₀=-1；或x₀=1，y₀=-1；或x₀=-1，y₀=1．
取x₀=y₀=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=1．
取x₀=-1，y₀=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-9．
取x₀=1，y₀=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-1．
取x₀=-1，y₀=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-7．
∴将y=x²-4x+3向上平移1个单位，或向下平移9个单位，或向下平移1个单位，或向下平移7个单位，就可使⊙P与两坐标轴都相切．
分析：（1）因为抛物线过点（0，3）与（4，3），所以可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），分当⊙P与y轴相切及与y轴相切两种情况讨论，分别求出P点的坐标；
（3）根据（2）中求出的P点坐标可知它们横纵坐标的绝对值均不相同，故⊙P不能与两坐标轴都相切．设出平移后的抛物线解析式，再根据圆与直线相切的特点列出方程即可求出未知数的值，从而求出函数的解析式．
点评：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，及圆的相关性质，比较复杂，是一道难度适中的题目．