Question

（2012•闵行区二模）已知：如图，AB⊥BC，AD∥BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，连接PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．

（1）当AP=AD时，求线段PC的长；
（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）过C作CE垂直于AE，交AD的延长线于E点，在由AB垂直于BC，PD垂直于CD，以及AD平行于BC，得到三个角为直角，再由AD与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BAC为直角，利用三个角为直角的四边形是矩形得到ABCE为矩形，根据矩形的对边相等可得出CE=AB=3，利用同角的余角相等的一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ADP与三角形DEC相似，由相似得比例，将AD与AP的长代入，得到DE=CE=3，在直角三角形ADP与直角三角形DEC中，分别利用勾股定理求出DP与DC的长，在直角三角形PDC中，利用勾股定理即可求出PC的长；
（2）在直角三角形APD中，由AP=x，AD=2，利用勾股定理表示出PD，再由三角形ADP与三角形DEC相似，由相似得比例，将AD与CE的长代入，根据表示出的PD表示出DC，根据三角形PDC为直角三角形，利用两直角边乘积的一半，即可表示出三角形PDC的面积，以及此时x的范围；
（3）当三角形APD相似于三角形DPC时，即得三角形APD，三角形DPC，以及三角形DCE都相似，分两种情况考虑：
（i）当点P与点B不重合时，可得出∠APD=∠DPC，由三角形APD与三角形DCE相似得比例，再由三角形APD与三角形DPC相似得比例，将比例式变形后相等，可得出DE=AD，由AD的长得出DE的长，根据AD+DE=AE求出AE的长，再由ABCE为矩形，可得出BC=AE，即可得到BC的长；（ii）当点P与点B重合时，如图所示∠ABD=∠DBC，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到AB=AD，为AB与AD不相等，故此种情况不存在，综上，得到满足题意的BC的长．

解答：解：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD∥BC，
∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE+∠ABC=180°，又∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴四边形ABCE为矩形，又AB=3，
∴CE=AB=3，
又∵∠ADP+∠EDC=90°，且∠DCE+∠EDC=90°，
∴∠ADP=∠DCE，又∠BAD=∠DEC=90°，
∴△APD∽△DCE，
∴

AD

CE

=

AP

DE

，
由AP=AD=2，CE=3，得：DE=CE=3，
在Rt△APD和Rt△DCE中，
根据勾股定理得：PD=

AP2+AD2

=2

2

，CD=

DE2+DC2

=3

2

，
在Rt△PDC中，根据勾股定理得：
PC=

PD2+CD2

=

8+18

=

26

；
（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，
根据勾股定理得：PD=

x2+4

，
∵△APD∽△DCE，且CE=3，AD=2，
∴

AD

CE

=

PD

CD

=

2

3

，
∴CD=

3

2

PD=

3

2

x2+4

，
在Rt△PCD中，S_△PCD=

1

2

PD•CD=

1

2

×

x2+4

×

3

2

x2+4

，
∴所求函数解析式为y=

3

4

x²+3，此时函数的定义域为0≤x≤3；
（3）当△APD∽△DPC时，即得△APD∽△DPC∽△DCE，
根据题意，当△APD与△DPC相似时，有下列两种情况：
（i）当点P与点B不重合时，可知∠APD=∠DPC，
由△APD∽△EDC，得

AP

DE

=

PD

DC

，即

AP

PD

=

DE

CD

，
由△APD∽△DPC，得

AP

PD

=

AD

DC

，
∴

AD

CD

=

DE

CD

，又AD=2，
∴DE=AD=2，
∴AE=AD+DE=4，
又∵∠ABC=∠BAE=∠AEC=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=4；
（ii）当点P与点B重合时，可知∠ABD=∠DBC，
又AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
而AD=2，AB=3，即AD≠AB，
故此种情况不存在．

综上，当△APD∽△DPC时，线段BC的长为4．

点评：此题考查了相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及勾股定理，利用了数形结合及分类讨论的思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．