Question

如图，已知AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，
求证：（1）AC是⊙O的切线；
（2）四边形BOAD是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠BAC）=30°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=30°，
∴∠OAC=120°-30°=90°，
即OA⊥AC，
∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）证明：连接AE，
∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°，
∴由圆周角定理得：∠AEB=∠AOB=60°，
∵D、B、E、A四点共圆，
∴∠D+∠AEB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAO+∠BOA=180°，
∴∠DAO=60°，
∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°，
即∠D=∠BOA，∠DBO=∠DAO，
∴四边形BOAD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴平行四边形BOAD是菱形．
分析：（1）根据等腰三角形性质和技术性的内角和定理求出∠ABC和∠C的度数，求出∠BAO，求出∠OAC=90°，根据切线的判定求出即可；
（2）连接AE，求出∠AEB的度数，根据平行线求出∠DAO，根据圆内接四边形性质求出∠D，根据四边形的内角和定理求出∠DAO，根据平行四边形的判定得出平行四边形BOAD，根据菱形的性质求出即可．
点评：本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四边形的判定、平行线性质、菱形的判定、圆周角定理、圆内接四边形，本题主要考查了学生的推理能力，是一道比较好的题目．