Question

5．已知，如图双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）与直线EF交于点A，点B，且AE=AB=BF，连结AO，BO，它们分别与双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于点C，点D，则：
（1）AB与CD的位置关系是平行；
（2）四边形ABDC的面积为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，由双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）与直线EF交于点A、点B，且AE=AB=BF，可设点A的坐标为（m，$\frac{4}{m}$），得到点B的坐标为：（2m，$\frac{2}{m}$），则可由S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN，求得△AOB的面积，易得△ODH∽△OBN，可得（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{1}{2}$，继而可得$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，所以AB∥CD  
（2）由$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，∠COD=∠AOB则可证得△COD∽△AOB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．

解答 解：（1）如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴AM∥DH∥BN∥y轴，
设点A的坐标为：（m，$\frac{4}{m}$），
∵AE=AB=BF，
∴OM=MN=NF，
∴点B的坐标为：（2m，$\frac{2}{m}$），
∴S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN=2+$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{m}$+$\frac{4}{m}$）×（2m-m）-2=3，
∵DH∥BN，
∴△ODH∽△OBN，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{DH}{BN}$=$\frac{OH}{ON}$，
∵DH•OH=2，BN•ON=4，
∴（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
同理：（$\frac{OC}{OA}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴AB∥CD  
故答案为：平行； 

（2）∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{△COD}}{{S}_{△AOB}}$=（ $\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴S_△COD=$\frac{3}{2}$，
∴S_{四边形ABDC}=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了反比例函数中k的几何意义以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．