Question

11．观察下列等式的变形规律：
a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}-1$
a₂═$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
a₃═$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$
a₄═$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{\sqrt{5}-2}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$=$\sqrt{5}$-2
…
依照上述规律．求a₁+a₂+a₃+…+a_{2017=-1-12$\sqrt{14}$}．

Answer 1

分析 通过式子变形结果，得到规律，利用规律求出式子的结果．

解答 解：a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₇
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2016}$
=-1-$\sqrt{2016}$
=-1-12$\sqrt{14}$．
故答案为：-1-12$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了分母有理化及实数的加减，掌握：$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$是解决本题的关键．