Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且不等式f（x）+2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}，方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，则不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-3-$\sqrt{6}$或x＞-3+$\sqrt{6}$}．

Answer 1

分析 根据不等式f（x）+2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}，可得出$\frac{b+2}{a}$=4①，$\frac{c}{a}$=3②，且a＜0，再根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，可得出△=b²-4a（c+6a）=0③，联立①②③即可得出关于a、b、c的方程组，解方程组即可求出a、b、c的值，代入不等式f（x）＜0中，解不等式即可得出结论．

解答 解：∵不等式f（x）+2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴ax²+（b+2）x+c=0的两根分别为1，3，且a＜0，
∴-$\frac{b+2}{a}$=4①，$\frac{c}{a}$=3②．
又∵方程f（x）+6a=ax²+bx+c+6a=0有两个相等的实数根，
∴△=b²-4a（c+6a）=0③．
联立①②③得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+2}{a}=-4}\\{\frac{c}{a}=3}\\{{b}^{2}-4a（c+6a）=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=-\frac{6}{5}}\\{c=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\\{c=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴f（x）=-$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x-$\frac{3}{5}$．
令-$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x-$\frac{3}{5}$＜0，即x²+6x+3＞0，
解得：x＜-3-$\sqrt{6}$或x＞-3+$\sqrt{6}$．
故答案为：{x|x＜-3-$\sqrt{6}$或x＞-3+$\sqrt{6}$}．

点评 本题考查了二次函数与不等式，解题的关键是求出a、b、c的值．本题属于中档题，解决该题型题目时，根据给定的条件找出关于关于a、b、c的方程组是关键．