Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与 BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE． (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)若AD＝4，，求BC的长．

Answer 1

(1)见解析(2)

（1）证明：连接BD，
∵AD⊥AB，即∠BAD=90⁰
∴BD是直径
∵AB=AC则∠ABE=∠ADB
∵AE=AF，∠BAE=∠BAF，AB=AB
∴△BAE≌△BAF，
∴∠ABE=∠ABF，BE=BF，
∴∠ADB=∠ABF，∠AFB+∠ADB=∠AFB+∠ABF=90⁰  
∴∠FBD=90⁰
即BD⊥BF，
∴BF是⊙O的切线
（2）∵在Rt△BAD中，AD＝4，
∴AB=3，BD=5，
∴BF=BE=，AE=，DE=
∵∠DCE=∠BAE，∠DEC=∠BEA
∴△DEC∽△BEA
∴,解得CE=
∴BC=BE+CE=
（1）连接BD，因AD⊥AB，所以BD是直径．证明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于点G．由（1）中结论∠D=∠2=∠3，分别把这三个角转化到直角三角形中，根据，求相关线段的长