Question

4．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．
（1）若∠F=70°，则∠ABC+∠BCD=220°；∠E=110°；
（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F，所添加的条件为AB∥CD．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°-∠F=110°，再由角平分线定义得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=220°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA=360°-（∠ABC+∠BCD）=140°．由角平分线定义得出∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ADE=$\frac{1}{2}$∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠CDA=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CDA）=70°，然后根据三角形内角和定理求出∠E=180°-（∠DAE+∠ADE）=110°；
（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；
（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．

解答 解：（1）∵∠F=70，
∴∠FBC+∠BCF=180°-∠F=110°．
∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，
∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=220°；
∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠BAD+∠CDA=360°-（∠ABC+∠BCD）=140°．
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ADE=$\frac{1}{2}$∠CDA，
∴∠DAE+∠ADE=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠CDA=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CDA）=70°，
∴∠E=180°-（∠DAE+∠ADE）=110°；

（2）∠E+∠F=180°．理由如下：
∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，
∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，
∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，
∴∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）AB∥CD．
故答案为220°；110°；AB∥CD．

点评 本题考查了三角形、四边形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定，等式的性质，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键．