Question

11．已知抛物线y=ax²+bx-3经过A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标．
（3）如图②，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得抛物线的对称轴为x=1．过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．然后证明△BNP≌△PMB，依据全等三角形的性质可知BN=PM=3，PN=MB′．设P（1，m），则点B′的坐标为（1-m，m-2），最后将点B′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（3）过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．先求得点G的坐标，则可得到OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在Rt△AGO中，利用特殊锐角三角函数值可求得∠A的度数，则∠FED=30°，依据函数30°直角三角形的性质可得到DF=$\frac{1}{2}$DE．则动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．故此当BD+DF最短时，所用时间最短，依据两点之间线段最短可知当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短，此时BE⊥BF，则点D的横坐标为3，然后由函数解析式再求得点D的纵坐标即可．

解答 解：（1）将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1．
如图所示：过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．

∵∠BPB′=90°，
∴∠BPN+∠B′PM=90°．
∵∠BPN+∠PBN=90°，
∴∠PNB=∠B′PM．
在△BPN和△PB′M中$\left\{\begin{array}{l}{∠PBN=∠B′PM}\\{∠BNP=∠PMB′}\\{PB=PB′}\end{array}\right.$．
∴△BNP≌△PMB．
∴BN=PM=3，PN=MB′．
设P（1，m），则点B′的坐标为（1-m，m-2）．
将点B′的坐标代入抛物线的解析式得：
（1-m）²-2（1-m）-3=m-2，解得：m₁=-1，m₂=2．
∵点P在x轴的下方，
∴m=-1．
∴P（1，-1）．
（3）存在．
如图所示：过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．

将x=0代入直线AE的解析式得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴tan∠GAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠FEA=∠GAO=30°．
∴DF=$\frac{1}{2}$DE．
∴动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．
∴当BD+DF最短时，所用时间最短．
∴当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短．
∴点D的横坐标为3．
将x=3代入直线AE的解析式得：y=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴D（3，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，用含点m的式子表示点B′的坐标是解答问题（2）的关键，得到当点B、D、F在一条直线上时，所用时间最短是解答问题（3）的关键．