Question

如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（-，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线线y=ax²+bx+3过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形，若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1） ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ， ∴∠ACB=90°，
（2） ∵△AOC∽△ABC， ∴OC2=AO·OB， ∵A（-，0），点C（0，3）， ∴ AO=，OC=3， ∴ 32=OB， ∴OB=4， ∴B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为 把C点坐标代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 即。
（3） 存在。分两种情况讨论： ①OD=OB， D在OB的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H ，则H是OB 中点， DH=OC，OH=OB， ∴D（2，）； ②BD=BO， 过D作DG⊥OB，垂足是G，则OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1， ∵DG∥CO， ∴OG∶OB=CD∶CB， 即OG∶4=1∶5， ∴OG=； DG∶CO=BD∶BC， 即DG∶3=4∶5， ∴DG=， ∴D（，）， 综上所述，线段BC上存在点D，使△BOD为等腰三角形，点D的坐标为（2，），（，）。