Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA，OC的中点．

（1）求证：BE＝DF；

（2）在不添加任何辅助线的情况下写出图中的所有全等三角形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△BOE≌△DOF，见解析

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，证出∠BAE＝∠DCF，AE＝CF，由SAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝CB，OA＝OC，OB＝OD，由SAS证明△AOD≌△COB，同理：△AOB≌△COB；由SSS证明△ABC≌△CDA，同理：△ABD≌△CDB；由（1）得：△ABE≌△FD；由SAS证明△BOE≌△DOF即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF，

∵E、F分别是OA、OC的中点，

∴AE＝OE＝OA，CF＝OF＝OC，

∴AE＝CF，

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴BE＝DF；

（2）解：图中的所有全等三角形为△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△BOE≌△DOF，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，OA＝OC，OB＝OD，

在△AOD和△COB中，，

∴△AOD≌△COB（SAS），

同理：△AOB≌△COB；

在△ABC和△CDA中，，

∴△ABC≌△CDA（SSS），

同理：△ABD≌△CDB；

由（1）得：△ABE≌△FD；

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（SAS）．