EF=FD
分析:感受理解:首先利用等边三角形的内角相等和角平分线的性质得到∠DAC=∠ECA,利用等角对等边得到FA=FC,然后证明三角形EFA全等于三角形DFC即可证得结论;
学以致用:在AC上截取AG=AE,连接FG,根据“边角边”证明△AEF和△AGF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠AFG,全等三角形对应边相等可得FE=FG,再根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理推出∠2+∠3=60°,从而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,然后根据平角等于180°推出∠CFG=60°,然后利用“角边角”证明△CFG和△CFD全等,根据全等三角形对应边相等可得FG=FD,从而得证.
解答:感受理解:
解:EF=FD.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠BCA,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠DAC=∠ECA,∠BAD=∠BCE,
∴FA=FC.
∴在△EFA和△DFC中,
,
∴△EFA≌△DFC,
∴EF=FD;
学以致用:
证明:如图1,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2,
在△AEF和△AGF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG,
∵∠B=60°,
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠2=
∠BAC,∠3=
∠ACB,
∴∠2+∠3=
(∠BAC+∠ACB)=
×120°=60°,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°,
∴∠CFG=∠CFD,
∵CE是∠BCA的平分线,
∴∠3=∠4,
在△CFG和△CFD中,
,
∴△CFG≌△CFD(ASA),
∴FG=FD,
∴FE=FD.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,根据所求角度正好等于60°得到角相等是解题的关键.