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25、已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,可以说明:△ACN≌△MCB,从而得到结论:AN=BM.
现要求:
(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在CB上.请对照原题图在下图中画出符合要求的图形(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)所得到的图形中,结论“AN=BM”是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)在(1)所得到的图形中,设MA的延长线与BN相交于D点,请你判断△ABD与四边形MDNC的形状,并说明你的结论的正确性.
分析:(1)可以C为圆心以CA为半径,画弧交BC于A,然后分别以C,A为圆心,以CA长为半径,画弧在BC下方交于M连接CM,AM,三角形ACM就是所求的三角形.
(2)还成立,可通过证明三角形ACN和BCM来实现,这两个三角形中,CN=BC,CA=CM,这两组对应边的夹角都等于60°,因此两三角形全等,即可得出AN=BM.
(3)MA的延长线与BN相交于D点,那么对顶角DAB和CAM都应该是60°,∠NBC也是60°,那么三角形ABD是等边三角形.∠DAB=∠NCB=60°,因此MD∥CN,∠MCB=∠NBC=60°,因此CM∥NB,因此四边形CMDN就是个平行四边形.
解答:证明:(1)如下图.


(2)结论“AN=BM”还成立.
证明:∵CN=CB,∠ACN=∠MCB=60°,CA=CM,
∴△ACN≌△MCB.
∴AN=BM.

(3)△ABD是等边三角形,四边形MDNC是平行四边形,
证明:∵∠DAB=∠MAC=60°,∠DBA=60°,
∴∠ADB=60°.
∴△ABD是等边三角形,
∵∠ADB=∠AMC=60°,
∴ND∥CM,
∵∠ADB=∠BNC=60°
∴MD∥CN
∴四边形MDNC是平行四边形.
点评:本题中通过全等三角形得出角和线段相等是解题的关键.
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