Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．

（1）求证：GD为⊙O切线；

（2）求证：DE2=EF·AC；

（3）若tan∠C=2，AB=5，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=3.

【解析】

(1)欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；

(2) 连接AD，然后求证Rt△CDF∽Rt△CAD,即可解答;

（3）由题意得出∠ABC=∠C，tan∠ABC=tan∠C=，根据直角三角形的三角函数得出CF=1，即可解答.

解：（1）如答图1，连接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DG⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴GD为⊙O切线；

（2）如答图2，连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴CD=BD，∠EAD=∠BAD，

∴BD=DE=CD，

∵DF⊥AC，

∴CF=EF，

∵Rt△CDF∽Rt△CAD，

∴，即CD2=CF·AC，

∴DE2=EF·AC；

（3）如答图2，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，tan∠ABC=tan∠C=，∵AB=5，

∴BD=DC=，在Rt△CDF中，

∵tan∠C=2，∴CF=1，由（2）知,，EF=CF，

∴EF=CF=1，CE=2，所以AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3．

答图1 答图2