Question

4．如图所示，过正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的内部作∠EAF=45°，E、F分别在BC、CD上，连接EF，作AH⊥EF于点H
求证：AH=AB．

Answer 1

分析 将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，根据旋转的性质可得DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG，然后求出∠EAF=∠EAG=45°，再利用“边角边”证明△AEF和△AEG全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH=AB．

解答 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
由旋转的性质得，DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵∠FAG=∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°，
∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠EAG=45°．
在△AEF和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠EAF=∠EAG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∵AH、AB分别是△AEF和△AEG对应边上的高，
∴AH=AB．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．